Avaldised ja arvuhulgad

Lihtsustage järgnev avaldis: $$ {{a^2 + b^2}\over\color{#039}{b^2 - a^2}} + {a\over\color{#060}{a-b}}$$

1. Esimese asjana teisendame esimese murru nimetaja (murrujoone all oleva osa) $ \color{#039}{b^2 - a^2}$ korrutiseks. Selleks kasutame ruutude vahe valemit:

$$ \boldsymbol{a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)} $$

ehk teisisõnu $$ \color{#039} {b^2 - a^2 = (b+a)(b-a)}$$

Loe ruutude vahe valemi kohta raamatutest:

Walemid: lehekülg 16, valem 8

Matemaatika Raudwara: lehekülg 24

2. Nüüd märkame, et esimese murru nimetajas on tegur $\color{#039}{(b-a)}$, samas kui teise murru nimetajas on tegur $\color{#060}{(a-b)}$. Seega saame teise murruga teha järgmise triki, kus "toome $-1$ sulgudest välja" ehk:

$$ {a\over\color{#060}{a-b}} = \color{#060}- {a\over\color{#060}{b-a}}$$

saades tulemuseks murru, mille nimetajas on tegur $\color{#060}{(b-a)}$.

3. Kuna esimese murru nimetaja on $\color{#039}{(b+a)(b-a)}$ ja teise murru nimetaja $\color{#060}{(b-a)}$, siis selleks, et kahte murdu tervikuna teineteisest lahutada, peame teist murdu laiendama teguriga $\color{#039}{(b+a)}$ ehk nii teise murru lugeja kui ka nimetaja korrutama teguriga $\color{#039}{(b+a)}$.

$$ {{{a^2 + b^2}\over\color{#039}{(b+a)(b-a)}} - {a\over\color{#060}{b-a}}} = {{a^2 + b^2}\over\color{#039}{(b+a)(b-a)}}-{{a \cdot\color{#039}{(b+a)}}\over{\color{#060}{(b-a)}\cdot \color{#039}{(b+a)}}}$$

4. Kuna mõlema murru nimetajad on nüüd võrdsed, saame murrud koondada ühise nimetaja alla ning vastavalat lugejad lahutada.

$${{a^2 + b^2}\over\color{#039}{(b+a)(b-a)}}-{{a \cdot\color{#039}{(b+a)}}\over{\color{#060}{(b-a)}\cdot \color{#039}{(b+a)}}} = { \color{#900}{a^2+b^2-a \cdot (b+a)}\over{\color{#060}{(b-a)}\color{#039}{(b+a)}}}$$

5. Kirjutame saadud murru lugeja ümber, avades kõigepealt sulud, koondades võrdsed tegurid ja seejärel tuues $b$ sulgude ette. $$ \color{#900}{a^2+b^2-a \cdot (b+a) = \require{cancel}\cancel{a^2}+b^2-ab-\require{cancel}\cancel{a^2}= b(b-a)}$$

6. Viimaks asendame murru lugeja koondatud lugejaga ning taandame murru.

$$ {{\color{#900}b\require{cancel}\cancel{\color{#900}{(b-a)}}}\over{\require{cancel}\cancel{\color{#060}{(b-a)}}{\color{#039}{(b+a)}}}} ={\color{#900}{b}\over{\color{#039}{b+a}}}$$

Vastus: ülesandes toodud avaldis lihtsustub järgmiselt: $$ {{{a^2 + b^2}\over{b^2 - a^2}} + {a\over{a-b}}} = \boldsymbol{{{b}\over{b+a}}}$$

Valemite kohta leiad lisainfot raamatutest Walemid ja Matemaatika Raudwara .

Märksõnad: ruutude vahe valem, avaldise lihtsustamine