Avaldise lihtsustamine

Lihtsustage järgnev avaldis:

$$ {x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3}\over{x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2} $$

1. Kõigepealt kirjutame murru ümber, tõstes liikmed nii murru lugejad kui ka nimetajas ringi. Kuna summa ei olene liidetavate järjekorrast, siis:

$$ {{x^3y-zx^3+y^3z-xy^3+z^3x-yz^3}\over{x^2y-zx^2+y^2z-xy^2+z^2x-yz^2}} $$

2. Järgmisena märkame, et nii murru lugejas kui ka nimetajas on teatud sarnasused. Kui toome paarikaupa liikmed $x$, $y$ ja $z$ sulgude ette, siis märkame järgmist sarnasust:

$$ {{x(\color{#039}{x^2y-zx^2})+y(\color{#060}{y^2z-xy^2})+z(\color{#900}{z^2x-yz^2})} \over{\color{#039}{x^2y-zx^2}+\color{#060}{y^2z-xy^2}+\color{#900}{z^2x-yz^2}}} $$

3. Ülesande lihtsustamiseks anname murru nimetajale uue sümboli $A$ ehk $$ A = {\color{#039}{x^2y-zx^2}+\color{#060}{y^2z-xy^2}+\color{#900}{z^2x-yz^2}} $$

Seega saadud murd on nüüd $${{x(\color{#039}{x^2y-zx^2})+y(\color{#060}{y^2z-xy^2})+z(\color{#900}{z^2x-yz^2})} \over{A}} $$

4. Siin on ülesande kõige raskem moment. Kuna antud liikmeid on keeruline tegurada nii, et murru lugejat ja nimetajat saaks taandada, siis peame murru lugejat täiendama, liites uusi liikmeid ja neid kohe ka lahutades. Näiteks, kuna $a-a=0$, siis suvalise arvu $n$ korral $n = n+a-a$. Kasutame seda oma avaldises, vaadates ainult lugeja esimest liiget:

$$ \displaylines{{x(\color{#039}{x^2y-zx^2})} = \cr = {x(\color{#039}{x^2y-zx^2})} + x(\color{#060}{y^2z-xy^2}) - x(\color{#060}{y^2z-xy^2}) + \cr + x(\color{#900}{z^2x-yz^2}) - x(\color{#900}{z^2x-yz^2})}$$

5. Kui me liikmed ümber tõstame, siis saame

$$ \displaylines{{x(\color{#039}{x^2y-zx^2})} + x(\color{#060}{y^2z-xy^2}) + x(\color{#900}{z^2x-yz^2}) - \cr - x(\color{#060}{y^2z-xy^2}) - x(\color{#900}{z^2x-yz^2})}$$

6. Toome esimesel kolmel liikmel $x$ sulgude ette, millega saame $$ \displaylines{{x(\color{#039}{x^2y-zx^2}} + \color{#060}{y^2z-xy^2} + \color{#900}{z^2x-yz^2}) - \cr - x(\color{#060}{y^2z-xy^2}) - x(\color{#900}{z^2x-yz^2})}$$

7. Nüüd aga näeme, et esimeses sulus olev väärtus on võrdne $A$-ga ehk murru lugeja esimese liikme saame kirjutada ümber kujul $$ {x(\color{#039}{x^2y-zx^2})} = xA - x(\color{#060}{y^2z-xy^2}) - x(\color{#900}{z^2x-yz^2}) $$

8. Kui me käime läbi täpselt sama tee lugeja teise ja kolmanda liikmega, siis saame tulemusteks $$ y(\color{#060}{y^2z-xy^2}) = yA-y(\color{#039}{x^2y-zx^2})-y(\color{#900}{z^2x-yz^2})$$

ning

$$ z(\color{#900}{z^2x-yz^2}) = zA-z(\color{#039}{x^2y-zx^2})-z(\color{#060}{y^2z-xy^2})$$

9. Liidame kõik kolm murru lugeja lahti kirjutatud liiget kokku

$$ \displaylines{{x(\color{#039}{x^2y-zx^2})} + y(\color{#060}{y^2z-xy^2}) + z(\color{#900}{z^2x-yz^2}) = \cr = xA - x(\color{#060}{y^2z-xy^2}) - x(\color{#900}{z^2x-yz^2}) + \cr + yA-y(\color{#039}{x^2y-zx^2})-y(\color{#900}{z^2x-yz^2}) + \cr + zA-z(\color{#039}{x^2y-zx^2})-z(\color{#060}{y^2z-xy^2})}$$

10. Tuues $A$ sulgude ette ning avades ülejäänud sulud, saame hakata liikmeid koondama $$ \displaylines{A(x+y+z) - \require{cancel}\cancel{xy^2z}-\require{cancel}\cancel{x^2y^2}-\require{cancel}\cancel{z^2x^2}+\require{cancel}\cancel{xyz^2} - \cr - \require{cancel}\cancel{x^2y^2}+\require{cancel}\cancel{yzx^2}-\require{cancel}\cancel{yz^2x}+\require{cancel}\cancel{y^2z^2}- \cr - \require{cancel}\cancel{zx^2y} + \require{cancel}\cancel{z^2x^2}-\require{cancel}\cancel{y^2z^2}+\require{cancel}\cancel{zxy^2}=\cr = A(x+y+z)}$$

11. Seega, kui murru lugeja on $A(x+y+z)$, siis kogu murd taandub kujule $$ {{\require{cancel}\cancel{A}(x+y+z)}\over{\require{cancel}\cancel{A}}}=x+y+z$$

Vastus: Ülesandes toodud avaldis lihtsustub järgmiselt $$ {{x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3}\over{x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2}} = \boldsymbol{x+y+z}$$

Valemite kohta leiad lisainfot raamatutest Walemid ja Matemaatika Raudwara .

Märksõnad: avaldise lihtsustamine